柯興樹,

🗣 SL提问: 柯興樹

✍️ Ai批改: 柯興樹（），又稱柯興函數，是在數學分析中一個重要的函數，在柯西-歐拉方程中會用到。它的名稱來自數學家奧古斯丁·柯興。

數學定義

對於實數\(x\)而言，柯興樹的定義為

\[\operatorname{Ki}_{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(tx)}{t^{n+1}}\,dt}.\]

性質

* 當\(n=0\)時，\(\operatorname{Ki}_{0}(x)={\frac {\pi }{2}}\operatorname{Si}(x)+{\frac {\pi }{2}}\operatorname{Ci}(x)\)，其中\(\operatorname{Si}(x)\)和\(\operatorname{Ci}(x)\)分別為正弦積分和餘弦積分。
* 當\(n=1\)時，\(\operatorname{Ki}_{1}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(tx)}{t^{2}}\,dt}=\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}\,dt=\operatorname{Si}(\infty )-\operatorname{Si}(x)=\operatorname{si}(x)\)，其中\(\operatorname{si}(x)\)為正弦積分。
* 當\(x\rightarrow 0\)時，\(\operatorname{Ki}_{n}(x)\rightarrow \infty \)

參見

* 餘弦積分
* 正弦積分
* 指數積分
* 對數積分

外部連結

* http://dlmf.nist.gov/10.II.E1.E4.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

參考文獻

* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A、(编), , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, 1972, ISBN 978-0-486-61272-0
* Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F、G., , Tables of Integral Transforms, 1, McGraw-Hill, 1954
* Tricomi, F、G., , Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1950, 30 (1): 201–218, ISSN 0003-4622, doi:10.1007/BF02419527
* , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [2014-04-21], ISBN 978-1-58488-318-2
* Weisstein, Eric W、, MathWorld

1、^ 柯興樹、國家教育研究院.